وُلد رمزي في محافظة الإسكندرية لوالد مصري هو الدكتور محمود بيومي، ووالدة اسكتلندية هي هيلين مكاي. درس في مدرسة الأورمان ثم كلية فيكتوريا، والتحق بكلية الطب، ثم انتقل إلى كلية التجارة حيث حصل على درجة البكالوريوس.
توفي والده عام 1939 بعد خسارته ثروته في البورصة، فعملت والدته مشرفة على طالبات كلية الطب.
ارتبطت بدايته الفنية بعلاقة صداقة جمعته بالفنان عمر الشريف، ولقاء مع المخرج يوسف شاهين. فبعد اختيار عمر الشريف لبطولة فيلم "صراع في الوادي" عام 1954، رافق رمزي فريق فيلم "شيطان الصحراء" كأحد عمال التصوير. وفي صالة بلياردو لاحظه المخرج حلمي حليم وعرض عليه العمل في السينما، لتكون أول بطولة له في فيلم "أيامنا الحلوة" عام 1955 مع عمر الشريف وعبد الحليم حافظ.
قدم رمزي نحو 100 فيلم خلال 20 عامًا، من أبرزها: "الوردة الحمراء" (2000)، و"قط الصحراء" (1995)، و"حكاية وراء كل باب" (1979)، و"الحب تحت المطر" (1975)، و"جنون الشباب" (1975)، و"الأحضان الدافئة" (1974)، و"لغة الحب" (1974)، و"ثرثرة فوق النيل" (1971)، و"الوسادة الخالية" (1957)، و"ابن حميدو" (1957)، و"تمر حنة" (1957).
اعتزل التمثيل في منتصف السبعينيات بعد فيلم "الأبطال" مع فريد شوقي، ثم عاد من خلال سباعية "حكاية وراء كل باب". اتجه بعدها إلى مشروع تجاري لبناء السفن وبيعها خلال الثمانينيات وحتى بداية التسعينيات، لكن المشروع تأثر بحرب الخليج الثانية وأصبح مديونًا، فعاد إلى التمثيل في منتصف التسعينيات بأعمال منها "قط الصحراء" و"الوردة الحمراء" و"وجه القمر".
توفي عن عمر ناهز 82 عامًا إثر جلطة دماغية شديدة بعد سقوطه في حمام منزله بالساحل الشمالي أثناء توجهه للوضوء لصلاة العصر يوم الجمعة 28 سبتمبر 2012. وشُيّعت جنازته بشكل بسيط في أحد مساجد الساحل الشمالي ودُفن هناك بناءً على وصيته.
